次の式を完全に因数分解せよ。因数分解できない場合はその旨を述べよ：7x² − 7x − 140。

Step-by-step solution

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   何よりも先に共通因数を探す。 3 つの係数 $7$、$-7$、$-140$ はいずれも $7$ で割り切れるので、先にくくり出しておくと数が小さいままで済む：$7x^2 - 7x - 140 = 7(x^2 - x - 20)$。

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   三項式の探索を設定する。 $x^2 - x - 20$ はモニックなので、積が $-20$、和が $x$ の係数 $-1$ になる 2 つの整数を探せばよい。

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   その組を見つける。 $-20$ の約数の組は $(1,-20)$、$(2,-10)$、$(4,-5)$ と、それぞれの符号を入れ替えたものである。和が $-1$ になるのは $-5$ と $4$ だけである。

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   1 次式を書く。 これより $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)$ となるので、完全な因数分解は $7(x - 5)(x + 4)$ である。

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   展開して確かめる。 $(x-5)(x+4) = x^2 - x - 20$ であり、$7$ を掛けるともとの式 $7x^2 - 7x - 140$ に戻る。