2 次式 10x² − 3x − 4 を 2 つの 1 次式の積に因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   AC 法の積を用意する。 最高次の係数が $1$ でないとき、1 次式の組を当てずっぽうで探すのは遅い。代わりに最高次の係数と定数項を掛ける：

   $a\cdot c=10\cdot(-4)=-40$

   これで、積が $-40$、和が真ん中の係数 $b=-3$ になる 2 つの整数を探せばよいことになる。

2. 2

   その組を見つける。 積が負なので 2 つの数は符号が逆であり、和を負にするには絶対値の大きいほうがマイナスを担う必要がある。$40$ の約数の組——$(1,40),(2,20),(4,10),(5,8)$——を順に見ると、最後のものが当たる：

   $5\cdot(-8)=-40,\qquad 5+(-8)=-3$

3. 3

   その組を使って真ん中の項を分ける。 $-3x$ を $5x-8x$ に置き換える（順序はどちらでもよく、大事なのはこのあとの組み方である）：

   $10x^2-3x-4=10x^2+5x-8x-4$

4. 4

   2 項ずつ組にして、それぞれをくくる。

   $(10x^2+5x)+(-8x-4)=5x(2x+1)-4(2x+1)$

   正しく分けられたかどうかは、どちらの組からも同じ 1 次式 $2x+1$ が残るかで確かめられる。一致しなければ、選んだ組が違うか、組み方が違うかである。

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   共通の 1 次式をくくり出して検算する。

   $5x(2x+1)-4(2x+1)=(2x+1)(5x-4)$

   展開して戻すと $(2x+1)(5x-4)=10x^2-8x+5x-4=10x^2-3x-4$ となり、一致する。したがって解は $x=-\tfrac12$ と $x=\tfrac45$ である。