6x(x − y)² + 3(y − x)(y − x)² を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   第 2 項を 1 つの累乗にまとめる。 積 $(y-x)(y-x)^2$ は $(y-x)^3$ にほかならない：

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3$

   1 つの累乗として書くと指数の偶奇が見えるようになり、次の一手はそれに依存している。

2. 2

   符号の規則で 2 つの括弧の向きを揃える。 $y - x = -(x-y)$ なので、奇数 乗ではマイナス符号が出るが、偶数乗では出ない：

   $(y-x)^3 = \left[-(x-y)\right]^3 = -(x-y)^3, \qquad (y-x)^2 = (x-y)^2$

   ここが符号の誤りが最も起きやすい唯一の一手である。反転するのは奇数乗だけである。

3. 3

   式全体を (x − y) で書き直す。

   $6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3 = 6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$

   これで両方の項が同じ括弧を土台にしたので、共通因数がくくり出せる。

4. 4

   最大公約数をくくり出す。 $6$ と $3$ の数の最大公約数は $3$ であり、括弧の低いほうの次数は $(x-y)^2$ である：

   $6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3 = 3(x-y)^2\Big[2x - (x-y)\Big]$

5. 5

   残った括弧を整理する。

   $2x - (x - y) = 2x - x + y = x + y$

   $\Longrightarrow \quad 6x(x-y)^2 + 3(y-x)(y-x)^2 = 3(x-y)^2(x+y)$

6. 6

   代入して確かめる。 $(x,y) = (3,5)$ では、もとの式は $6(3)(4) + 3(2)(4) = 72 + 24 = 96$、因数分解した形は $3(4)(8) = 96$ となる。$(-2, 7)$ と $\left(\tfrac12, \tfrac13\right)$ でも、分数のまま厳密に計算すると同じく一致する。$(x-y)^2$ も $x+y$ もこれ以上分解できないので、これで完全である。