6x² − 7ax + 2a² − 6x + 5a − 12 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   a を 2 つ目の変数として扱う。 この式は $x$ について 2 次であり、かつ $a$ についても 2 次で、この 2 文字を合わせて次数が $2$ を超える項はない。したがって $x$ と $a$ の 1 次式 2 つに因数分解できる見込みがある。

2. 2

   2 次の部分を因数分解する。

   $6x^{2}-7ax+2a^{2}=(3x-2a)(2x-a)$

   （交差項を確認：$3x\cdot(-a)+(-2a)\cdot 2x=-3ax-4ax=-7ax$。✓）

3. 3

   未知の定数を導入する。 完全な因数分解は

   $(3x-2a+p)(2x-a+q),\qquad pq=-12$

   の形でなければならない。

4. 4

   x と a の係数を合わせる。 展開すると $x$ の係数は $3q+2p$、$a$ の係数は $-2q-p$ になる。目標はそれぞれ $-6$ と $+5$ である：

   $3q+2p=-6,\qquad -2q-p=5$

5. 5

   p と q を求める。 2 番目の式から $p=-5-2q$ であり、これを 1 番目に代入すると $3q-10-4q=-6$、すなわち $-q=4$ となるので $q=-4$、$p=3$ である。どちらも $pq=3(-4)=-12$ を満たす。✓

   $\boxed{(3x-2a+3)(2x-a-4)}$

6. 6

   最後に展開して確かめる。 $(3x-2a+3)(2x-a-4)=6x^2-3ax-12x-4ax+2a^2+8a+6x-3a-12=6x^2-7ax+2a^2-6x+5a-12$。✓