4m²n − 8mn² − 2mn を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   最大公約数を係数ごとに求める。 数の係数は $4,-8,-2$ であり、その最大公約数は $2$ である。

2. 2

   共通する文字の次数を求める。 どの項も $m$ を少なくとも 1 乗、$n$ を少なくとも 1 乗含む。$m$ の次数は $2,1,1$（最小は $1$）、$n$ の次数は $1,2,1$（最小は $1$）である。したがって最大公約数の全体は

   $\gcd=2mn$

   となる。

3. 3

   各項を 2mn で割り、商を明示的に書き出す。

   $\frac{4m^2n}{2mn}=2m,\qquad \frac{-8mn^2}{2mn}=-4n,\qquad \frac{-2mn}{2mn}=-1$

   3 つ目の商が間違えやすいところである。ある項が（符号を除いて）最大公約数そのものであるとき、その項は消えるのではなく $-1$ を残す。

4. 4

   因数分解した形を組み立てる。

   $4m^2n-8mn^2-2mn=2mn\left(2m-4n-1\right)$

5. 5

   括弧がさらに分解できるかを調べる。 $2m-4n-1$ はどちらの文字についても 1 次であり、共通因数もない（$-1$ があるので $2$ をくくり出せない）。したがって因数分解は完全である。

6. 6

   展開と、ランダムな代入で検算する。 分配して戻すと $2mn\cdot2m=4m^2n$、$2mn\cdot(-4n)=-8mn^2$、$2mn\cdot(-1)=-2mn$ ✓。$[-5,5]$ のランダムな $60$ 組の $(m,n)$ で試すと、どの点でも計算機の精度の範囲で一致する ✓。