32² − 28² を計算せよ。

Step-by-step solution

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   電卓に手を伸ばす前にパターンを見抜く。 この式はまさに「平方から平方を引いた形」であり、恒等式

   $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

   の左辺そのものである。ここでは $a=32$、$b=28$ である。この恒等式を使えば、3 桁になる 2 つの平方の計算（$1024$ と $784$）が、引き算 1 回、足し算 1 回、そして簡単な掛け算 1 回に置き換わる。

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   2 つの因数を計算する。

   $a-b=32-28=4,\qquad a+b=32+28=60$

   2 つの数が近いので差は小さくなる。この「近い」という条件こそ、この近道が最も効く場面である。

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   掛け合わせる。

   $32^{2}-28^{2}=4\times60=240$

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   まともに計算して検算する。 $32^{2}=1024$、$28^{2}=784$ なので $1024-784=240$ ✓。どちらの経路も整数の厳密な計算なので、丸め誤差を心配する必要はない。

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   この近道が一般に効く条件を押さえる。 偶奇の一致する $a,b$ による平方の差 $a^{2}-b^{2}$ では $a-b$ が偶数になる——ここでは $4\times60$ という暗算しやすい積になった。同じ手を使えば $101^{2}-99^{2}$ も即座に $2\times200=400$ となるが、まともに計算すると 4 桁の平方が 2 つ必要になる。