21x³ − 49x² − 18x + 42 を完全に因数分解し、その解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   解を探す前に組分けを試す。 4 項からなる 3 次式は、2 項ずつ組にして因数分解する典型例である。真ん中で分ける：

   $\left(21x^{3}-49x^{2}\right)+\left(-18x+42\right).$

   $x=2$（値は $-22$）や $x=3$（値は $114$）といった整数を試しても何も見つからない。解を先に探す方針がここで行き詰まるのはそのためである——唯一の有理数解は分数 $\tfrac73$ であり、$p\mid42$、$q\mid21$ を満たす多数の候補 $\pm\frac{p}{q}$ の中では見落としやすい。

2. 2

   それぞれの組を因数分解する。 前の組からは $7x^{2}$ を、後ろの組からは $-6$ をくくり出す：

   $21x^{3}-49x^{2}=7x^{2}(3x-7),\qquad -18x+42=-6(3x-7).$

   符号が肝心である。$6$ ではなく $-6$ をくくり出すことで、後ろの括弧が $7-3x$ ではなく $3x-7$ になる。

3. 3

   共通の 1 次式をくくり出す。 どちらの部分も因数 $(3x-7)$ をもつ：

   $7x^{2}(3x-7)-6(3x-7)=(3x-7)\left(7x^{2}-6\right).$

   展開し直せば確かめられる：$21x^{3}-49x^{2}-18x+42$ ✓。

4. 4

   2 次式がさらに分解できるかを調べる。 有理数の範囲では、$\tfrac67$ が有理数の平方でないので $7x^{2}-6$ は既約である。実数の範囲では分解できる：

   $7x^{2}-6=7\left(x-\sqrt{\tfrac67}\right)\left(x+\sqrt{\tfrac67}\right).$

   したがって有理数の範囲での完全な因数分解は $(3x-7)(7x^{2}-6)$ である。

5. 5

   解を読み取って検算する。 各因数をゼロとおくと

   $x=\frac{7}{3}\approx2.3333,\qquad x=\pm\sqrt{\frac67}=\pm\frac{\sqrt{42}}{7}\approx\pm0.92582.$

   それぞれを 3 次式に代入すると、値は $0$ との差が $10^{-14}$ 以内 ✓。解と係数の関係とも合う。解の和は $\tfrac73+0=\tfrac73=\tfrac{49}{21}$ ✓。