2x − 9xy を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの項を因数ごとに見比べる。 それぞれを書き出す：

   $2x=2\cdot x,\qquad9xy=9\cdot x\cdot y$

   係数 $2$ と $9$ は互いに素なので、数はくくり出せない。文字 $y$ は第 2 項にしか現れないので、これもくくり出せない。共通する因数は $x$ だけ である。

2. 2

   各項を $x$ で割る。

   $\frac{2x}{x}=2,\qquad\frac{-9xy}{x}=-9y$

   よって括弧には $2-9y$ が入り、マイナス符号はそのまま引き継がれる：

   $2x-9xy=x(2-9y)$

3. 3

   展開して検算する。 $x\cdot2-x\cdot9y=2x-9xy$ ✓、$-10\le x,y\le9$ を満たす $400$ 組の整数すべてで確認済み ✓。括弧の中の $2$ と $9y$ には共通するものがないので、因数分解は完全である。

4. 4

   対応する方程式を解く。 積を 0 とおき、積が 0 になる条件を使う：

   $x(2-9y)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{ または }\ 2-9y=0$

   2 つ目の場合からは $9y=2$、すなわち $y=\tfrac29$ が得られる。

5. 5

   解集合の意味を読み取る。 変数が 2 つあるので、解は $(x,y)$ 平面の 2 本の 直線 全体をなす。すなわち縦の直線 $x=0$（$y$ は任意）と、横の直線 $y=\tfrac29$（$x$ は任意）である。それぞれの上の点で確かめる。$x=0,y=5$ なら $0-0=0$ ✓、$x=7,y=\tfrac29$ なら $14-9\cdot7\cdot\tfrac29=14-14=0$ ✓。