2x³ + x² − 4x − 2 を 2x + 1 で割れ。

Step-by-step solution

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   筆算の形を整える。 どちらの多項式も降べきの順に書かれていて欠けている項もないので、ゼロの詰め物は要らない。最高次の項どうしを割る：

   $\frac{2x^{3}}{2x}=x^{2}.$

   割る式がモニックでないため、ここでは組立除法は使いにくい。ふつうの筆算なら、先頭の $2$ をスケールし直すことなくそのまま扱える。

2. 2

   掛け戻して引く。 割る式に商の最初の項を掛けると：

   $x^{2}(2x+1)=2x^{3}+x^{2},$

   引くと最初の 2 項からは何も残らない：

   $\left(2x^{3}+x^{2}\right)-\left(2x^{3}+x^{2}\right)=0.$

   残りを下ろすと、新しい被除数は $-4x-2$ になる。

3. 3

   残りに対して同じことを繰り返す。 ふたたび最高次の項どうしを割ると：

   $\frac{-4x}{2x}=-2,\qquad -2(2x+1)=-4x-2,$

   引くと $0$ になる。割り算は余り 0 で終わるので、$2x+1$ は正真正銘の因数である。

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   組み分けで確認する。 割り算をまったくせずに同じ結果が出る：

   $2x^{3}+x^{2}-4x-2=x^{2}(2x+1)-2(2x+1)=(2x+1)\left(x^{2}-2\right).$

   最初の 2 項と最後の 2 項がそれぞれ $2x+1$ を含むと見抜く方が、3 次式がこの対の構造をもつときには筆算より速い。

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   答えを述べて検算する。 商は

   $\frac{2x^{3}+x^{2}-4x-2}{2x+1}=x^{2}-2,\qquad x\neq-\tfrac12.$

   おまけに完全な因数分解は $(2x+1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$ なので、解は $-\tfrac12$ と $\pm\sqrt2$ である。$x=2.3$ での数値検算では、商からは $3.29$、もとの比からも $3.29$ が出る ✓。