12x + 18 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   係数の最大公約数を求める。 それぞれを素因数分解する：

   $12=2^{2}\cdot3,\qquad18=2\cdot3^{2}$

   共通の素因数について最も低い次数をとると、$2$ が 1 個と $3$ が 1 個なので $\gcd(12,18)=6$ である。$x$ を含むのは第 1 項だけなので、文字はくくり出せない——最大公約数は数の $6$ だけである。

2. 2

   各項を 6 で割る。

   $\frac{12x}{6}=2x,\qquad\frac{18}{6}=3$

   これらの商が括弧の中身になる：

   $12x+18=6(2x+3)$

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   因数分解が完全であることを確かめる。 括弧の中では $2$ と $3$ が互いに素なので、これ以上くくり出せるものはない。$2$ だけをくくり出すと 不完全な $2(6x+9)$ になり、$3$ だけなら $3(4x+6)$ になる——どちらも恒等式としては正しいが、括弧の中にまだ共通因数が残っているので完全な因数分解ではない。

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   展開して検算する。 $6(2x+3)=6\cdot2x+6\cdot3=12x+18$ ✓、$-20$ から $19$ までのすべての整数で確認済み ✓。分配法則は括弧の中の 両方 の項に届かなければならない。

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   この形の御利益を押さえる。 因数分解した形なら解がすぐ読み取れる。$6(2x+3)=0$ となるには $2x+3=0$ が必要で、$x=-\tfrac32$ となる。また、整数 $x$ に対して $12x+18$ がつねに $6$ の倍数であることも一目で分かる——展開した形では見えないことである。