(a + b)²(ab − 1) + 1 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   目標が見えるように完全に展開する。 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ を使い、$(ab-1)$ を分配すると：

   $(a^2+2ab+b^2)(ab-1)+1=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   これは次数 $4$ の多項式であり、$a$ と $b$ の入れ替えについて対称である。したがって因数分解は、それ自身が対称であるか、入れ替えで互いに移り合う因数の組であるかのどちらかでなければならない。

2. 2

   特別な値を入れて 1 つの因数を探る。 $a=1$ とおく：

   $(1+b)^2(b-1)+1=b^3+b^2-b=b\left(b^2+b-1\right)$

   つまり $a=1$ では式は $b\cdot(b^2+b-1)$ に分かれる。この 2 つの部分は、$ab+b^2-1$ と $a^2+ab-1$ が $a=1$ でとる形にほかならない——前者は $b+b^2-1$、後者は $1+b-1=b$ になる。これが手がかりである。

3. 3

   その組を掛け合わせて確かめる。

   $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$

   $=a^3b+a^2b^2-a^2+a^2b^2+ab^3-ab-ab-b^2+1$

   $=a^3b+2a^2b^2+ab^3-a^2-2ab-b^2+1$

   7 つの項が 1 つ残らず、手順 1 の展開とぴったり一致する。

4. 4

   最も覚えやすい形で因数分解を書く。 それぞれの括弧の中で共通の $(a+b)$ をくくり出すと：

   $(a+b)^2(ab-1)+1=\bigl(a(a+b)-1\bigr)\bigl(b(a+b)-1\bigr)$

   $a\leftrightarrow b$ の入れ替えは 2 つの因数を交換する。これはまさに、もとの式がもっている対称性である。

5. 5

   この問題について出回っている因数分解を退ける。 組 $(a^2b+ab^2+a+b-1)(ab-a-b+1)$ が答えとして挙げられることがあるが、これは誤りである。$a=2,\ b=3$ では、もとの式は $(5)^2(6-1)+1=126$ であるのに対し、その積は $(12+18+2+3-1)(6-2-3+1)=34\times2=68$ となり、等しくない。正しい組なら $(4+6-1)(6+9-1)=9\times14=126$ ✓ となる。

6. 6

   しらみつぶしに検証する。 もとの式と $(a^2+ab-1)(ab+b^2-1)$ を、有理数 の $(a,b)$ の組 $3000$ 通りについて分数のまま厳密に比べても食い違いは 1 つも出ず、記号計算で項ごとに展開しても両者が同一の多項式であることが確かめられる ✓。