不等式 2^x/(2^x − 3) + (2^x + 1)/(2^x − 2) + 5/(4^x − 5·2^x + 6) ≤ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   $t=2^x$ と置き、$4^x$ を書き直す。 $4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2$ なので、式全体が $t$ についての有理式になる。$\frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\frac{5}{t^2-5t+6}\le 0$ であり、$2^x$ は常に正なので $t>0$ である。

2. 2

   3 つ目の分母を因数分解して、分母をそろえる。 $t^2-5t+6=(t-2)(t-3)$ であり、これはちょうど前の 2 つの分母の積である。したがって定義域からは $t=2$ と $t=3$ が除かれる。

3. 3

   $(t-2)(t-3)$ の上でまとめる。 分子は $t(t-2)+(t+1)(t-3)+5=(t^2-2t)+(t^2-2t-3)+5=2t^2-4t+2$ なので、不等式は $\frac{2t^2-4t+2}{(t-2)(t-3)}\le 0$ となる。

4. 4

   完全平方式であることを見抜く。 $2t^2-4t+2=2(t^2-2t+1)=2(t-1)^2$ であり、これは決して負にならない。この一点で問題は決まる。商が $\le 0$ になりうるのは、分子が 0 のときか、分母が負のときだけである。

5. 5

   2 つの場合を処理する。 分子が 0 になるのは $t=1$ のときで、そこでは $(1-2)(1-3)=2\neq 0$ なので $t=1$ は正しい解である。分母が負とは $(t-2)(t-3)<0$、すなわち $2<t<3$ ということである。合わせて $t=1$ または $2<t<3$ となる。

6. 6

   $x$ に戻す。 $t=1$ は $2^x=1$ を意味するので $x=0$ である。帯 $2<2^x<3$ からは、$2^x$ が増加関数で $2^1=2$ であることを使って $1<x<\log_2 3\approx 1.585$ が得られる。

7. 7

   孤立した点を確かめる。 $x=0$ では $\frac{1}{1-3}+\frac{2}{1-2}+\frac{5}{1-5+6}=-\tfrac12-2+\tfrac52=0$ となり、等号を含む不等式を満たす。これで $x=0$ が紛れ込んだ根ではなく、本当に孤立した解であることが確かめられる。