不等式 (10^x − 25·2^x − 2·5^x + 50)/(5x − x² − 4) ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   $10^x$ を素数の底に分ける。 $10=2\cdot 5$ なので $10^x=2^x\cdot 5^x$ である。分子は $2^x5^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50$ となり、組分けを待っている 4 つの項になる。

2. 2

   分子を組分けで因数分解する。 $2^x(5^x-25)-2(5^x-25)$ と組めば $(2^x-2)(5^x-25)$ になる。その零点は $2^x=2\Rightarrow x=1$ と $5^x=25\Rightarrow x=2$ である。

3. 3

   分母を因数分解する。 $5x-x^2-4=-(x^2-5x+4)=-(x-1)(x-4)=(x-1)(4-x)$ である。これは $x=1$ と $x=4$ で 0 になるので、どちらの値も定義域から除かれる。$x=1$ は分子と分母の両方の零点なので、決して解にはならない点に注意する。

4. 4

   各因数の符号を追う。 分子について、$x<1$ では $2^x-2<0$、$x<2$ では $5^x-25<0$ なので、分子は $(-\infty,1)$ で正、$(1,2)$ で負、$(2,\infty)$ で正である。分母 $(x-1)(4-x)$ は $(-\infty,1)$ で負、$(1,4)$ で正、$(4,\infty)$ で負である。

5. 5

   区間ごとに符号を合成する。 $(-\infty,1)$ では $+/-=-$。$(1,2)$ では $-/+=-$。$(2,4)$ では $+/+=+$。$(4,\infty)$ では $+/-=-$。商が正になるのは $(2,4)$ だけであり、$x=2$ そのものは分子が $0$ で分母が 0 でないので、解に含まれる。

6. 6

   代表点と端点を確かめる。 $x=3$ では分子が $1000-200-250+50=600$、分母が $15-9-4=2$ となり、予想どおり $300\ge 0$ である。$x=2$ では分子が $100-100-50+50=0$、分母が $2$ なので商はちょうど $0$ になり、等号を含む不等式が成り立つ。