不等式 (14^x − 7^(x+1) − 2^(x+1) + 14)/(−x² + 4x) ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   指数をそれぞれ底 $2$ と底 $7$ で書き直す。 $14=2\cdot 7$ なので $14^x=2^x7^x$ であり、さらに $7^{x+1}=7\cdot 7^x$、$2^{x+1}=2\cdot 2^x$ である。分子は $2^x7^x-7\cdot 7^x-2\cdot 2^x+14$ となる。

2. 2

   4 つの項を組にして積にする。 $7^x(2^x-7)-2(2^x-7)=(7^x-2)(2^x-7)$ である。零点は $7^x=2\Rightarrow x=\log_7 2\approx 0.356$ と $2^x=7\Rightarrow x=\log_2 7\approx 2.807$ である。

3. 3

   分母を因数分解する。 $-x^2+4x=x(4-x)$ は $x=0$ と $x=4$ で 0 になり、どちらも定義域から除かれる。境目になる 4 つの値を順に並べると $0<\log_7 2<\log_2 7<4$ となる。

4. 4

   分子の符号。 $(7^x-2)$ は $x<\log_7 2$ で負、それ以降は正である。$(2^x-7)$ は $x<\log_2 7$ で負、それ以降は正である。したがって積は $(-\infty,\log_7 2)$ で正、$(\log_7 2,\log_2 7)$ で負、$(\log_2 7,\infty)$ で正である。

5. 5

   分母の符号。 $x(4-x)$ は根が $0$ と $4$ の上に凸な放物線で、$[0,4]$ の外では負、その内部でだけ正である。

6. 6

   符号を合成し、商が 0 以上になる区間を選ぶ。 $(-\infty,0)$ では $+/-=-$。$(0,\log_7 2)$ では $+/+=+$。$(\log_7 2,\log_2 7)$ では $-/+=-$。$(\log_2 7,4)$ では $+/+=+$。$(4,\infty)$ では $+/-=-$。不等号が等号を含み、そこでは分母が 0 でないので、分子の 2 つの零点は解に含まれる。

7. 7

   採用した区間で 1 点ずつ検算する。 $x=0.2$ では分子が $14^{0.2}-7^{1.2}-2^{1.2}+14\approx 3.067$、分母が $0.76$ で、およそ $4.04>0$ となる。$x=3$ では分子が $2744-2401-16+14=341$、分母が $-9+12=3$ で、$\tfrac{341}{3}\approx 113.7>0$ となる。