不等式 1/(2^x + 21) ≤ 3/(2^(x+2) − 1) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   置き換えて有理不等式に直す。 $x$ が現れるのはすべて底 $2$ の指数の中なので、$t=2^x$ と置く（$t>0$）。$2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4t$ だから、不等式は $\frac{1}{t+21}\le\frac{3}{4t-1}$ となり、$t$ についてのふつうの有理不等式になる。

2. 2

   たすき掛けをせず、すべてを一方の辺に寄せる。 ここで分母どうしを掛け合わせるのは危険である。$4t-1$ は $t=\tfrac14$ で符号が変わり、負の量を掛ければ不等号の向きが逆になってしまう。$\frac{1}{t+21}-\frac{3}{4t-1}\le 0$ と書き、共通分母でまとめて $\frac{(4t-1)-3(t+21)}{(t+21)(4t-1)}\le 0$ とする。

3. 3

   分子を整理する。 $(4t-1)-3(t+21)=4t-1-3t-63=t-64$ なので、不等式は $\frac{t-64}{(t+21)(4t-1)}\le 0$ となる。

4. 4

   符号が決して変わらない因数を落とす。 $t=2^x>0$ だから、因数について常に $t+21>21>0$ である。正の量で割っても向きは変わらないので、$\frac{t-64}{4t-1}\le 0$ が残る。

5. 5

   $t$ についての符号表を作る。 境目になる値は $t=64$（分子が 0）と $t=\tfrac14$（分母が 0 なので除外）である。商が負になるのはちょうどその間なので $\tfrac14<t\le 64$ となる。不等号が等号を含むので $t=64$ は残り、$t=\tfrac14$ ではその分数が定義されないので残らない。

6. 6

   $x$ に戻す。 範囲を $2$ の累乗の形に書くと $2^{-2}<2^x\le 2^6$ となる。関数 $2^x$ は狭義単調増加なので、指数も同じ順序に従い $-2<x\le 6$ となる。

7. 7

   両端を確かめる。 $x=6$ のとき $\frac{1}{64+21}=\frac{1}{85}$ と $\frac{3}{256-1}=\frac{3}{255}=\frac{1}{85}$ で等号が成り立つので、$x=6$ は解に含まれる。$x=-2$ のときは $2^{x+2}-1=2^0-1=0$ となり右辺が定義されないので、$x=-2$ は除外しなければならない。