x² + 8x + 16 と x² − 4x + 4 の積を展開せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   それぞれの 3 項式が完全平方式であることを見抜く。 $a^2\pm 2ab+b^2$ の形になっているかを確かめる：

   $x^2+8x+16=(x+4)^2,\qquad x^2-4x+4=(x-2)^2$

   真ん中の係数がそれを裏づけている。$2\cdot 4=8$ であり $2\cdot 2=4$ である。これで項ごとの掛け算 9 回を避けられる。

2. 2

   2 つの平方をひとつにまとめる。 $u^2v^2=(uv)^2$ だから

   $(x+4)^2(x-2)^2=\bigl[(x+4)(x-2)\bigr]^2$

   要点はこれがすべてである。まず1 次の因数どうしを掛け、そのあと 1 回だけ 2 乗する。

3. 3

   2 つの 1 次式を掛ける。

   $(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8$

   これで問題は 3 項式 $x^2+2x-8$ を 2 乗することに帰着する。

4. 4

   3 項の公式で 3 項式を 2 乗する。 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$ で $a=x^2$、$b=2x$、$c=-8$ とすると：

   $a^2=x^4,\ b^2=4x^2,\ c^2=64,\ 2ab=4x^3,\ 2ac=-16x^2,\ 2bc=-32x$

5. 5

   同類項をまとめる。 2 つの $x^2$ の寄与が合わさって：

   $x^4+4x^3+(4-16)x^2-32x+64=x^4+4x^3-12x^2-32x+64$

6. 6

   $x=1$ と $x=-4$ で検算する。 $x=1$ ではもとの式が $(1+8+16)(1-4+4)=25\cdot 1=25$ となり、展開形は $1+4-12-32+64=25$ となる。$x=-4$ ではもとの式は $0$ であり（$(x+4)^2$ が消えるから）、展開形も $256-256-192+128+64=0$ となる。どちらも一致している。