(x − 2/√x)⁴ を展開せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   二項定理の形を用意する。 4 乗の係数はパスカルの三角形の第 5 段 $1,4,6,4,1$ であり、2 つ目の項が引かれているので符号は交互になる。

   $(A-B)^4=A^4-4A^3B+6A^2B^2-4AB^3+B^4$

   $A=x$、$B=\dfrac{2}{\sqrt{x}}=2x^{-1/2}$ とおく。$B$ を先に分数の指数で書き直しておくことが、計算を素直に進める鍵である。

2. 2

   指数がどう変わっていくかを見ておく。 各項は $A$（指数 $+1$）1 つ分を $B$（指数 $-\tfrac12$）1 つ分と交換するので、指数は項ごとに $\tfrac32$ ずつ下がる。すなわち $4,\ \tfrac52,\ 1,\ -\tfrac12,\ -2$ である。これを先に知っておけば、ずれをすぐ捕まえられる。

3. 3

   最初の 3 項を計算する。

   $A^4=x^4$

   $-4A^3B=-4x^3\cdot2x^{-1/2}=-8x^{5/2}$

   $6A^2B^2=6x^2\cdot\frac{4}{x}=24x$

   $B^2=4x^{-1}$ なので、3 番目の項で平方根が完全に消える。

4. 4

   残りの 2 項を計算する。

   $-4AB^3=-4x\cdot\frac{8}{x^{3/2}}=-32x^{-1/2}=-\frac{32}{\sqrt{x}}$

   $B^4=\left(2x^{-1/2}\right)^4=\frac{16}{x^2}$

5. 5

   展開を組み立てる。

   $\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^4=x^4-8x^{5/2}+24x-\frac{32}{\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}$

   $\sqrt{x}$ が分母にあるので、定義域は $x>0$ である。

6. 6

   いくつかの x の値で数値検算する。 $x=1$ ではもとの式も展開した式も $1$、$x=0.3$ ではどちらも $126.1678$、$x=2.7$ ではどちらも $4.83477$、$x=5.5$ ではどちらも $466.40627$ ✓。$1$ より小さい点も含めて広く散らばった 4 点で一致するので、係数と指数がすべて正しいと確かめられる。