(p − 1)(q − 1) + 1 を展開して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず積を展開し、そのあと外の項を扱う。 $+1$ はかっこの外にあるので、掛け算が終わるまで中に混ぜてはいけない。計算の順序では積が足し算より先である。

2. 2

   2 つの 2 項式を掛ける。 前のかっこの各項が後ろのかっこの各項と出会い、全部で 4 つの積になる。

   $(p-1)(q-1)=p\cdot q+p\cdot(-1)+(-1)\cdot q+(-1)(-1)=pq-p-q+1$

   最後の $+1$ は $(-1)(-1)$ から来る。負の数どうしの積は正である。

3. 3

   まとまる項がないことを確認する。 $p$ と $q$ は別の文字なので、$-p$ と $-q$ は同類項ではなく、$-2p$ にも $-pq$ にもまとめられない。展開した式は 4 つの異なる項からなる。

4. 4

   外の 1 を足す。

   $pq-p-q+1+1=pq-p-q+2$

   2 つの定数は打ち消し合うのではなく足し合わさる。この問題で唯一の落とし穴がここである。

5. 5

   ランダムな代入で確かめる。 もとの式と $pq-p-q+2$ を、$[-8,8]$ から取った $50$ 組の $(p,q)$ で比べると、すべての点で計算精度いっぱいまで一致する ✓。$p=4,q=7$ での抜き取り検算：$(3)(6)+1=19$、$28-4-7+2=19$ ✓。