積 (2x − √(2x) − 1)(2x + √(2x) − 1) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   9 個の項を掛け合わせるかわりに、共役の形を見つける。 2 つのかっこは $\sqrt{2x}$ の前の符号だけが違う。これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の目印である。ただし正しくまとめることが前提である。

2. 2

   まとめ方を決める。 符号が変わらないものをすべて $a$ に、根号を $b$ に入れる。

   $a = 2x - 1, \qquad b = \sqrt{2x}$

   すると積はちょうど $\left(a - b\right)\left(a + b\right)$ の形になる。

3. 3

   公式を適用する。

   $\left(a-b\right)\left(a+b\right) = a^2 - b^2 = (2x-1)^2 - \left(\sqrt{2x}\right)^2$

   根号が一気に消える。このまとめ方を見抜く価値はここにある。

4. 4

   それぞれの平方を展開する。

   $(2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1, \qquad \left(\sqrt{2x}\right)^2 = 2x$

5. 5

   引いて整理する。

   $4x^2 - 4x + 1 - 2x = 4x^2 - 6x + 1$

6. 6

   x = 2 で数値検算する。 2 つのかっこは $4 - 2 - 1 = 1$ と $4 + 2 - 1 = 5$ なので、積は $5$ である。簡単にした式は $4(4) - 6(2) + 1 = 16 - 12 + 1 = 5$ を与える。一致する。（なおもとの式は根号のために $x \ge 0$ を必要とするが、多項式の形はすべての $x$ で定義される。）