[2x − (√2)x − 1][2x + (√2)x − 1] を展開して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   各かっこの中で x の項をまとめる。 $2x$ も $\sqrt2\,x$ も $x$ の定数倍なので、それぞれの組から $x$ をくくり出す：

   $\left[(2 - \sqrt2)x - 1\right]\left[(2 + \sqrt2)x - 1\right]$

   こう書けば、2 つのかっこが同じ形で、係数が共役な $2 - \sqrt2$ と $2 + \sqrt2$ になっていることが目に見える。

2. 2

   分配法則で展開する。 項ごとに掛け合わせると：

   $= (2-\sqrt2)(2+\sqrt2)x^2 - (2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x + 1$

   真ん中の 2 項はいったん分けたままにしておく。根号が打ち消し合うのはそこだからである。

3. 3

   x² の係数に共役の積を使う。 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ より、

   $(2-\sqrt2)(2+\sqrt2) = 2^2 - \left(\sqrt2\right)^2 = 4 - 2 = 2$

   したがって 2 次の項は $2x^2$ である——どちらの因子も無理数だったのに、有理数になる。これこそ共役の効能である。

4. 4

   1 次の 2 項をまとめる。 根号が逆符号で現れて打ち消し合う：

   $-(2-\sqrt2)x - (2+\sqrt2)x = \left(-2 + \sqrt2 - 2 - \sqrt2\right)x = -4x$

5. 5

   結果を組み立て、妥当性を確かめる。

   $\left[(2-\sqrt2)x - 1\right]\left[(2+\sqrt2)x - 1\right] = 2x^2 - 4x + 1$

   $x = 1$ で試すと、左辺は $(1-\sqrt2)(1+\sqrt2) = 1 - 2 = -1$、右辺は $2 - 4 + 1 = -1$ となる。$2x^2 - 4x + 1$ の解は $x = \frac{2 \pm \sqrt2}{2}$ であり、これは $2 \mp \sqrt2$ の逆数である。因数分解した形が予言するとおりである。