(b − 1)/(b + √b − 1) に (√b + 1)/(b√b − 1) の逆数を掛け、2√b を足した式を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   分数をひっくり返して負の指数を片づける。 0 でない分数について $\left(\tfrac{u}{v}\right)^{-1}=\tfrac{v}{u}$ なので

   $\left(\frac{\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}-1}\right)^{-1}=\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}$

   となり、式は単なる積に 1 項を足したものになる：

   $\frac{b-1}{b+\sqrt{b}-1}\cdot\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}+2\sqrt{b}$

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   $x=\sqrt{b}$ と置き換えて、すべてを多項式にする。 これが決め手である。根号は通常の因数分解の公式を妨げるが、$x=\sqrt{b}\ (x>0)$ とおけば $b=x^2$、$b\sqrt{b}=x^3$ となり、式は次に変わる。

   $\frac{x^2-1}{x^2+x-1}\cdot\frac{x^3-1}{x+1}+2x$

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   因数分解して約分する。 ここまで来れば標準的な公式が使える：

   $x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

   したがって積は

   $\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x-1}\cdot\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x+1}=\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)}{x^2+x-1}$

   となる。$x+1$ が約分される。分母の $x^2+x-1$ は $x^2+x+1$ とは違うので、これ以上は何も約分されないことに注意。

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   共通分母の上で $2x$ を足す。 $2x=\dfrac{2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$ と書いてまとめる：

   $\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)+2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$

   分子を展開する：

   $(x^2-2x+1)(x^2+x+1)=x^4-x^3-x+1$

   $2x(x^2+x-1)=2x^3+2x^2-2x$

   $\text{和}=x^4+x^3+2x^2-3x+1$

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   この分数が本当に既約かを確かめる。 $x^4+x^3+2x^2-3x+1$ を $x^2+x-1$ で割ると、商は $x^2+3$、余りは $-6x+4\neq 0$ である。割り切れないので、これ以上の約分はできない。

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   もとに戻して定義域を述べる。 $x^2=b$、$x^3=b\sqrt{b}$、$x^4=b^2$ を使うと

   $\frac{b^2+b\sqrt{b}+2b-3\sqrt{b}+1}{b+\sqrt{b}-1}$

   となる。これは $b>0$、$b\neq 1$（$b\sqrt{b}-1\neq 0$ のため）、$b\neq\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.382$（$b+\sqrt{b}-1\neq 0$ のため）で成り立つ。$b=2$ での数値確認では、もとの式も簡単にした形も $3.142136$ を与える。