(10x³ + 3x + 8)(4x³ − 8x − 9) を展開して簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   展開の段取りを立てる。 どちらのかっこも 3 項なので、分配法則からは $3\times 3=9$ 個の積が出る。どちらのかっこにも $x^{2}$ の項がないことに注意する。この抜けた次数こそ符号と整理のミスが忍び込む場所なので、次数をはっきり追いかける。

2. 2

   先頭の項 $10x^{3}$ を配る。

   $10x^{3}\left(4x^{3}-8x-9\right)=40x^{6}-80x^{4}-90x^{3}$

3. 3

   真ん中の項 $3x$ を配る。

   $3x\left(4x^{3}-8x-9\right)=12x^{4}-24x^{2}-27x$

4. 4

   定数項 $8$ を配る。

   $8\left(4x^{3}-8x-9\right)=32x^{3}-64x-72$

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   9 個の項を次数ごとにまとめる。 次数ごとに縦にそろえる。

   $\begin{aligned}x^{6}&:\ 40x^{6}\\ x^{5}&:\ \text{なし}\\ x^{4}&:\ -80x^{4}+12x^{4}=-68x^{4}\\ x^{3}&:\ -90x^{3}+32x^{3}=-58x^{3}\\ x^{2}&:\ -24x^{2}\\ x&:\ -27x-64x=-91x\\ \text{定数}&:\ -72\end{aligned}$

6. 6

   結果を書き、両端で確かめる。 展開すると

   $40x^{6}-68x^{4}-58x^{3}-24x^{2}-91x-72$

   手早い検算が 2 つある。最高次の係数は $10\times 4=40$ でなければならない ✓、定数項は $8\times(-9)=-72$ でなければならない ✓。3 つ目の検算として $x=1$ で両方の形を計算する。もとの積は $(10+3+8)(4-8-9)=21\times(-13)=-273$、展開した式は $40-68-58-24-91-72=-273$ ✓