((a₁(x − y) + b₁)(x − y) + (a₂y + b₂)y) / x を展開し、同類項をまとめよ。

Step-by-step solution

1. 1

   入れ子（ホーナー）の形に気づく。 どちらの半分も $(\text{係数}\cdot t+\text{定数})\cdot t$ という形をしている。これは掛け算の回数を減らすために書かれた 2 次式であり、前半は $t=x-y$、後半は $t=y$ である。一気に展開するより、1 層ずつほどくほうが安全である。

2. 2

   それぞれの半分を、その変数の 2 次式にほどく。

   $\left(a_1(x-y)+b_1\right)(x-y)=a_1(x-y)^2+b_1(x-y)$

   $\left(a_2y+b_2\right)y=a_2y^2+b_2y$

   したがって分子は $a_1(x-y)^2+b_1(x-y)+a_2y^2+b_2y$ である。

3. 3

   平方と 1 次のかっこを展開する。 $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ を使う。

   $a_1(x-y)^2=a_1x^2-2a_1xy+a_1y^2,\qquad b_1(x-y)=b_1x-b_1y$

   かっこの中のすべての項に係数がかかる。最も落としやすい真ん中の項 $-2a_1xy$ も含めてである。

4. 4

   2 つの半分にまたがる同類項をまとめる。 まとめられるのは $y^2$ の項と $y$ の項だけである。

   $a_1y^2+a_2y^2=(a_1+a_2)y^2,\qquad -b_1y+b_2y=(b_2-b_1)y$

   分子は次のようになる。

   $a_1x^2-2a_1xy+(a_1+a_2)y^2+b_1x+(b_2-b_1)y$

5. 5

   完全にばらした形が欲しければ項ごとに割る。 $x\neq 0$ のとき

   $a_1x-2a_1y+\frac{(a_1+a_2)y^2}{x}+b_1+\frac{(b_2-b_1)y}{x}$

   簡単になるのは $x$ を含む項だけである。$y^2$ と $y$ の項は分母に $x$ を残すので、この形は多項式ではない。

6. 6

   数値で確かめる。 $a_1=1,b_1=2,a_2=3,b_2=4,x=5,y=1$ とする。もとの分子は $(1\cdot 4+2)\cdot 4+(3+4)\cdot 1=24+7=31$。整理した形は $25-10+4\cdot 1+10+2\cdot 1=31$ ✓。どちらも $x=5$ で割れば $6.2$ になる。