x = 1 のとき、(2x + 3)² − (2x − 1)² − 6x の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まずはそのまま代入してみる。 $x=1$ とすると

   $(2+3)^{2}-(2-1)^{2}-6=5^{2}-1^{2}-6=25-1-6=18.$

   これで問いには答えられるが、構造が見えない。そして計算ミスから守ってくれるのは構造のほうである。

2. 2

   平方の差でやり直す。 最初の 2 項は $A=2x+3$、$B=2x-1$ とすると $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ の形である。

   $A+B=4x+2,\qquad A-B=(2x+3)-(2x-1)=4.$

   $A-B$ では $x$ の項が消える。この因数分解がここでとても効くのはそのためである。

3. 3

   式全体を整理する。

   $(4x+2)(4)-6x=16x+8-6x=10x+8.$

   2 次式に見えたもとの式は、実は 1 次式である。$4x^{2}$ の項が消えたのである。

4. 4

   整理した式で値を求める。

   $10(1)+8=18,$

   直接代入した結果と一致する。

5. 5

   別の点でも確かめて整理が正しいことを見る。 $x=3$ のとき、もとの式は $(9)^{2}-(5)^{2}-18=81-25-18=38$、整理した式は $10(3)+8=38$ ✓。$10x+8$ が 2 点で一致し、しかも消去のあとはどちらも高々 1 次の多項式なので、両者は同じ関数である。