x = 1/20 のとき、式 (2x + 5)² − 4(x + 3)(x − 3) の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   代入する前に整理する。 いきなり $x=\tfrac1{20}$ を入れると、分数を 2 乗し、3 つのかっこを掛け合わせることになる。先に展開したほうが速く、間違いも少ない。しかも 2 次の項が消えることが見えてくる。

2. 2

   平方を展開する。

   $(2x+5)^2=4x^2+20x+25$

3. 3

   積を和と差の積として展開する。 $(x+3)(x-3)$ は典型的な $a^2-b^2$ の形である。

   $(x+3)(x-3)=x^2-9\quad\Longrightarrow\quad 4(x+3)(x-3)=4x^2-36$

4. 4

   引き算のときに 2 つ目のマイナスに注意する。

   $(4x^2+20x+25)-(4x^2-36)=4x^2+20x+25-4x^2+36=20x+61$

   $4x^2$ の項が消え、$-(-36)$ は $+36$ になる。式全体は 1 次式である。

5. 5

   1 次式に分数を代入する。 $20$ と $\tfrac1{20}$ は逆数なので、$x=\tfrac1{20}$ の代入はもう簡単である。

   $20\cdot\frac{1}{20}+61=1+61=62$

6. 6

   整理する前の式で確かめる。 $x=0.05$ とすると $(2(0.05)+5)^2=5.1^2=26.01$、$4(3.05)(-2.95)=-35.99$ なので、$26.01-(-35.99)=26.01+35.99=62$ となる。$\checkmark$