連立不等式 −1 < x² − x − 1 < 1 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   独立した 2 つの不等式に分ける。 真ん中が1 次でない連鎖不等式は、3 つの部分に同じ定数を足して区間を読み取るという扱いができない。真ん中が単調でないからである。「かつ」で結ばれた 2 つの条件に分けなければならない。

   $x^2 - x - 1 > -1 \quad \text{かつ} \quad x^2 - x - 1 < 1$

2. 2

   左側の不等式を解く。 $1$ を足すと $x^2 - x > 0$、すなわち $x(x-1) > 0$ となる。2 つの 1 次因数の積は根の外側で正になるので

   $x < 0 \quad \text{または} \quad x > 1$

3. 3

   右側の不等式を解く。 $1$ を引くと $x^2 - x - 2 < 0$、すなわち $(x-2)(x+1) < 0$ となる。積が負になるのは 2 つの根の間だけなので

   $-1 < x < 2$

4. 4

   2 つの解集合の共通部分をとる。 $\left((-\infty,0) \cup (1,\infty)\right)$ と $(-1,2)$ を重ねると、$(-1,2)$ の外側と、真ん中の閉じた区間 $[0,1]$ が取り除かれる。

   $(-1,\,0) \cup (1,\,2)$

   すき間ができるのは、$[0,1]$ では放物線が $x = 0.5$ で最小値 $-1.25$ まで下がり、下限を破ってしまうからである。

5. 5

   代表的な値で検算する。 $x = -0.5$ では $0.25 + 0.5 - 1 = -0.25$ で $(-1,1)$ の内側。$x = 0.5$ では $-1.25$ で外側。$x = 1.5$ では $2.25 - 1.5 - 1 = -0.25$ で内側。$x = 2$ では $4 - 2 - 1 = 1$ となり厳しい上限を満たさないので、端点は正しく除かれている。