連立不等式 −4 ≤ 3x − 1 ≤ 8 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの問題ではなく 1 本の連鎖した主張だと見る。 $-4\le3x-1\le8$ は $-4\le3x-1$ かつ $3x-1\le8$ を同時に主張している。変数が真ん中の部分にしか現れないので、両方の条件をひとまとめに処理できる——どの操作も 3 つの部分すべてに同時に施すだけでよい。

2. 2

   3 つの部分すべてに 1 を足す。 どこにも同じ定数を足すのは、両方の不等号の向きを保つ：

   $-4+1\le3x-1+1\le8+1\qquad\Longrightarrow\qquad-3\le3x\le9$

3. 3

   3 つの部分すべてを 3 で割る。 割る数は正なので、どちらの $\le$ も反転しない。（もし $-3$ だったなら両方の不等号が逆になり、連鎖を大きい方から小さい方へ書き直す必要があった。）

   $\frac{-3}{3}\le\frac{3x}{3}\le\frac{9}{3}\qquad\Longrightarrow\qquad-1\le x\le3$

4. 4

   端点を含む形で答えを述べる。 区間表記では $[-1,3]$ である。もとの関係が等号を許していたので、両端とも含まれる。角括弧の形は飾りではなく、その事実を記録している。

5. 5

   端点と内部の 1 点で検算する。 $x=-1$ のとき：$3(-1)-1=-4$ で $-4\le-4$ ✓（左端は到達される）。$x=3$ のとき：$3(3)-1=8$ で $8\le8$ ✓（右端も到達される）。$x=0$ のとき：$-1$ で余裕をもって内部にある ✓。外側では $x=4$ が $11>8$ となり ✗。もとの連鎖を $[-1,3]$ と照合すると、$110$ 個の厳密な有理点すべてで一致する ✓。