関数 f(x) = 2 / (x² − 12x + 35) の定義域を求めよ。答えは区間で表せ。

Step-by-step solution

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   分数関数が持つ唯一の制約を見きわめる。 分子の $2$ は無害であり、多項式はすべての実数で定義される。したがって定義域は、分母の零点以外の全体である。ここには根号も対数もないので、0 で割ることだけが危険となる。数が扱いやすいので、解の公式ではなく因数分解で進める。

2. 2

   分母を因数分解する。 掛けて $35$、足して $-12$ になる 2 数を探す。どちらも負であり、$-5$ と $-7$ が当てはまる。

   $x^{2}-12x+35=(x-5)(x-7)$

   展開し直すと $x^{2}-7x-5x+35=x^{2}-12x+35$ となるので、因数分解は正しい。

3. 3

   除外される値を求める。 積が 0 になるのは、どれかの因数が 0 になるときだけである。

   $x-5=0\ \Rightarrow\ x=5,\qquad x-7=0\ \Rightarrow\ x=7$

   このどちらでも分母が 0 になる一方、分子は $2$ のままなので、$f$ はそこに除去可能な穴ではなく垂直漸近線を持つ。

4. 4

   この 2 点を数直線から取り除く。 $\mathbb{R}$ から孤立した 2 点を除くと、3 つの区間に分かれる。

   $(-\infty,5)\cup(5,7)\cup(7,\infty)$

   4 つの端点はすべて丸かっこである。$5$ と $7$ は除外されているから、$\pm\infty$ は数ではないからである。

5. 5

   除外値の両側で 1 つずつ確かめる。 $x=6$ では分母が $36-72+35=-1$ なので $f(6)=-2$ となり、真ん中の区間の中のれっきとした値である。$x=5$ では分母が $25-60+35=0$ なので $f(5)$ は定義されず、答えのとおりである。