f(x) = (x² − 4x + 3)/(x² − 9) の定義域から x = 3 が除かれる理由を、x − 3 が約分できることを踏まえて説明せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域を判断する前に、分子と分母を因数分解する。

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   なので

   $f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}$

   となる。因子 $x-3$ が上下の両方に現れる——これがこの場合をややこしくしている当のものである。

2. 2

   定義域はもとの分母で決まる。約分する前の分母である。 それを 0 とおくと

   $x^2-9=0\quad\Longrightarrow\quad x=3 \text{ または } x=-3$

   である。手を加えていない式に $x=3$ を代入すると

   $f(3)=\frac{9-12+3}{9-9}=\frac{0}{0}$

   となり、これは数ではない。0 で割ることに意味は無い。$0\cdot y=$ 指定された 0 でない値 となる $y$ は存在せず、分子も $0$ の場合はどんな $y$ でも成り立ってしまうので、ただ 1 つの値を割り当てることができない。

3. 3

   約分は式を変えるが関数を変えるわけではない。 $x\neq 3$ であるすべての値について

   $f(x)=\frac{x-1}{x+3}$

   が成り立つが、この簡約された式は、制限 $x\neq 3$ を付けたままにしない限り 別の 関数である。式を簡単にしても定義域に点が付け加わることは決してなく、すでにある定義域の上で規則を書き換えているだけである。

4. 4

   除外される 2 点を分類する——両者は同じ種類ではない。 $x=-3$ では分母だけが 0 になるので $|f(x)|\to\infty$ となり、これは垂直漸近線である。$x=3$ では分子と分母がともに 0 になるので、グラフには除去可能な不連続点、すなわち穴ができる。その高さは約分後の式の極限である。

   $\lim_{x\to 3}\frac{x-1}{x+3}=\frac{2}{6}=\frac13$

   数値でも $f(3.00001)\approx 0.333334$ となり、グラフが $\tfrac13$ に近づきながら決してそこに達しないことが確かめられる。

5. 5

   定義域を述べる。

   $\operatorname{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}: x\neq 3,\ x\neq -3\}=(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,\infty)$

   点 $(3,\tfrac13)$ はグラフ上の白丸である。曲線はいくらでも近づくが、$x=3$ は定義域に属さない。