関数 f(x) = (2x + 9) / (x³ + 3x² − x − 3) の定義域を求めよ。答えは区間で表せ。

Step-by-step solution

1. 1

   問題を 3 次式の零点を求めることに帰着させる。 分数関数は分母が 0 でないところすべてで定義されるので、定義域は $\mathbb{R}$ から $x^{3}+3x^{2}-x-3$ の根を除いたものである。分子 $2x+9$ は何の制約も課さない。項が 4 つあり共通因数もないので、因数定理よりも組分けが自然な道具である。

2. 2

   組に分けて因数分解する。 前の 2 項と後ろの 2 項に分け、それぞれから見やすい因数をくくり出す。

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=x^{2}(x+3)-1(x+3)=\left(x^{2}-1\right)(x+3)$

   どちらの組からも同じ因数 $(x+3)$ が出てくるからこそ、この組分けがうまくいく。

3. 3

   平方の差で仕上げる。 $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ なので、分母は 1 次式の積に完全に分解される。

   $x^{3}+3x^{2}-x-3=(x-1)(x+1)(x+3)$

4. 4

   各因数を 0 とおいて除外値を並べる。

   $x-1=0\ \Rightarrow\ x=1,\qquad x+1=0\ \Rightarrow\ x=-1,\qquad x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$

   このどれでも分子は 0 にならない（$2x+9$ はそれぞれ $11$、$7$、$3$ になる）ので、3 つとも穴ではなく本物の垂直漸近線である。

5. 5

   定義域を区間の形にまとめる。 数直線から 3 点を除くと、小さい順に 4 つの開区間が残る。

   $(-\infty,-3)\cup(-3,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$

6. 6

   因数分解を数値で確かめる。 $(x-1)(x+1)(x+3)-\left(x^{3}+3x^{2}-x-3\right)$ を $x=0,1,2,3$ で計算するとすべて $0$ になるので、除外値はこの 3 つで全部である。