x³ を x + 1 で割り、商と余りの項の和の形で答えを書け。

Step-by-step solution

1. 1

   分子をすべての次数がそろった形で書く。 欠けている項はゼロの係数で場所を空けておかなければ、列がずれてしまう：

   $x^3+0x^2+0x+0$

2. 2

   割り算の 1 回目。 $\tfrac{x^3}{x}=x^2$。掛け戻して引くと：

   $x^2(x+1)=x^3+x^2\quad\Longrightarrow\quad\left(x^3+0x^2\right)-\left(x^3+x^2\right)=-x^2$

3. 3

   2 回目。 $\tfrac{-x^2}{x}=-x$。掛けて引くと：

   $-x(x+1)=-x^2-x\quad\Longrightarrow\quad\left(-x^2+0x\right)-\left(-x^2-x\right)=x$

4. 4

   3 回目。 $\tfrac{x}{x}=1$。掛けて引くと：

   $1(x+1)=x+1\quad\Longrightarrow\quad(x+0)-(x+1)=-1$

   $-1$ の次数は $x+1$ の次数より低いので、割り算は商 $x^2-x+1$、余り $-1$ で止まる。

5. 5

   答えを組み立て、剰余の定理で確認する。

   $\frac{x^3}{x+1}=x^2-x+1-\frac{1}{x+1},\qquad x\neq -1$

   剰余の定理は余りを $f(-1)=(-1)^3=-1$ と予告する $\checkmark$。同じことだが $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$ なので、$x^3=(x+1)(x^2-x+1)-1$ である $\checkmark$。