(2x² + 7x + 3)/(x + 3) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   簡単にする前に制限を書き留める。 分母は $x=-3$ で消えるので、そこでは式が定義されない。簡単にした形が何であれ、この除外は最後まで一緒に持ち歩かなければならない。

2. 2

   中央の項を分ける。 $2x^{2}+7x+3$ を因数分解するには、掛けて $a\cdot c=2\times3=6$、足して $b=7$ になる 2 数を探す。それは $6$ と $1$ である：

   $2x^{2}+7x+3=2x^{2}+6x+x+3.$

   分け方の順序はどちらでもよく、どちらの並びでもうまく組にできる。

3. 3

   組み分けで因数分解する。 最初の 2 項から $2x$、後ろの 2 項から $1$ をくくり出すと：

   $2x(x+3)+1(x+3)=(2x+1)(x+3).$

   分母とまったく同じ $(x+3)$ が現れることが、この問題のねらいである。展開し直すと $2x^{2}+6x+x+3$ に戻る ✓。

4. 4

   共通因数を約分する。 $x\ne-3$ であれば、因数 $(x+3)$ を割り落とせる：

   $\frac{(2x+1)(x+3)}{x+3}=2x+1.$

   約分が正当なのは $x+3\ne0$ だからである。これは割り算であって、因数をゼロと置いているのではない。

5. 5

   定義域を添えて答えを述べる。 簡単にした式は

   $2x+1,\qquad x\ne-3.$

   である。グラフは直線 $y=2x+1$ の $x=-3$ のところに穴が空いたものになる。そこは本来なら直線が $(-3,-5)$ を通る点であり、除去可能な不連続点である。$x=1$ で確かめると、もとの式は $\tfrac{2+7+3}{4}=3$、簡単にした形も $3$ ✓。