座標平面上の点 P の座標を (m, n) とし、m と n は (m² + n² + 1)(m² + n² + 3) = 8 を満たすとする。OP の長さを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   求めたいものと与えられた式を結び付ける。 $P(m,n)$ から原点までの距離は

   $OP=\sqrt{m^2+n^2}$

   である。よって問題全体は $m^2+n^2$ という 1 つの数を求めることに帰着し、$m$ と $n$ の個々の値は最後まで必要にならない。

2. 2

   置き換えて 2 つの変数を隠す。

   $t=m^2+n^2$

   と置く。$m$ と $n$ は実数なので各平方は非負であり、最後まで持ち続けるべき制約が得られる：

   $t\ge 0$

3. 3

   展開して $t$ の 2 次方程式を解く。

   $(t+1)(t+3)=8$

   $t^2+4t+3=8$

   $t^2+4t-5=0$

   $(t+5)(t-1)=0\ \Longrightarrow\ t=-5\ \text{または}\ t=1$

4. 4

   制約に反する解を捨てる。 実数の平方の和が $-5$ になることはないので $t=-5$ は棄却され、

   $m^2+n^2=1$

   となる。$\sqrt5$（あるいは $1$）という魅力的な答えが罠なのはこのためである。置き換えそのものが課す定義域に反する解を残してしまっている。

5. 5

   $OP$ を計算して検証する。

   $OP=\sqrt{1}=1$

   制約と照らして確かめる：$t=1$ なら $(1+1)(1+3)=2\times 4=8$ $\checkmark$。幾何的には $P$ は単位円上のどこにあってもよく——たとえば $(1,0)$ や $\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right)$ ——そのどの点も原点からの距離は $1$ である。