2 次方程式 ax² + bx + c = 0 が a − 2b + 4c = 0 を満たし、重解を持つ。正しい結論はどれか：a = b、a = c、b = c、c = 4a。

Step-by-step solution

1. 1

   「重解を持つ」を式に翻訳する。 2 次方程式が重解を持つのは、判別式が 0 になるときちょうどである。

   $\Delta=b^2-4ac=0\ \Longrightarrow\ b^2=4ac$

   （暗に $a\neq 0$ とする。そうでなければ 2 次方程式ではない。）

2. 2

   与えられた 1 次の関係式を $b$ について解く。 $a-2b+4c=0$ より

   $2b=a+4c\ \Longrightarrow\ b=\frac{a+4c}{2}$

   $b$ の前に $2$ が付いているのは、$b$ を消去せよという意図的なヒントである。

3. 3

   判別式の条件に代入する。

   $\left(\frac{a+4c}{2}\right)^2=4ac$

   両辺を $4$ 倍すると

   $(a+4c)^2=16ac$

4. 4

   展開して完全平方に気づく。

   $a^2+8ac+16c^2=16ac$

   $a^2-8ac+16c^2=0$

   $(a-4c)^2=0\ \Longrightarrow\ a=4c$

5. 5

   選択肢に届くようもう一歩進める。 関係式 $a=4c$ は選択肢にないので、これを $2b=a+4c$ に戻す。

   $2b=4c+4c=8c\ \Longrightarrow\ b=4c$

   $a=4c$ かつ $b=4c$ なので $a=b$ が得られる。すなわち選択肢 (A) である。

6. 6

   具体例で確かめる。 $c=1$ とすると $a=b=4$ となり、方程式は $4x^2+4x+1=0$ である。判別式は $4^2-4(4)(1)=16-16=0$ $\checkmark$（重解 $x=-\tfrac12$）であり、付帯条件も $4-2(4)+4(1)=4-8+4=0$ $\checkmark$ となる。なお $c=4a$（選択肢 D）は $1=16$ となって偽である。正しい関係は逆向きの $a=4c$ である。