(2, +∞) が x² + x − b > 0 の解の区間の 1 つであるとき、もう一方の解の区間は何か。

Step-by-step solution

1. 1

   下に凸な放物線の形を使う。 $x^2$ の係数が $+1$ なので $y=x^2+x-b$ のグラフは下に開き、$y>0$ となるのは 2 つの解の外側である。したがって解集合は、$r_1<r_2$ として $(-\infty,r_1)\cup(r_2,+\infty)$ の形になる。

2. 2

   与えられた区間から解を読み取る。 示されている区間 $(2,+\infty)$ は右側の枝でしかありえないので、その端点 $x=2$ が大きいほうの解である。狭義の 2 次不等式の解集合の端点は、方程式の解そのものである。

3. 3

   b を求める。 $x^2+x-b=0$ に $x=2$ を代入すると $4+2-b=0$ なので $b=6$ である。不等式は $x^2+x-6>0$ となる。

4. 4

   因数分解して 2 つ目の解を求める。 $x^2+x-6=(x+3)(x-2)$ なので、解は $-3$ と $2$ である。積 $(x+3)(x-2)$ が正になるのは、2 つの因数の符号が同じときである。

5. 5

   欠けている枝を書く。 $x<-3$ のとき 2 つの因数はどちらも負なので、もう一方の解の区間は $(-\infty,-3)$ であり、解集合全体は $(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$ である。

6. 6

   x = −4 と x = 0 で数値検算する。 $x=-4$ では $16-4-6=6>0$ なので $-4$ は解集合に属する。$x=0$（2 解の間）では $0+0-6=-6<0$ となり、正しく除かれている。