f(x) = −x² + 7x + 2 とする。(f(x + h) − f(x))/h を計算して簡単にすると Ax + Bh + C の形になる。A、B、C を求めよ。

Step-by-step solution

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   $x$ が現れるところすべてに $x+h$ を代入する。

   $f(x+h)=-(x+h)^{2}+7(x+h)+2.$

   $(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$ と展開し、先頭のマイナス符号を丁寧に分配すると：

   $f(x+h)=-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2.$

   2 乗の前にあるこのマイナス符号こそ、最も取りこぼされやすい箇所である。

2. 2

   $f(x)$ を引き、$h$ を含まない項が消えるのを確かめる。

   $f(x+h)-f(x)=\bigl(-x^{2}-2xh-h^{2}+7x+7h+2\bigr)-\bigl(-x^{2}+7x+2\bigr).$

   $-x^{2}$、$7x$、$2$ の項が対で打ち消し合い、残るのは

   $-2xh-h^{2}+7h.$

   生き残る項はどれも $h$ を含んでいる——そうでなければ $h$ で割ったときに $h\to0$ で発散してしまうので、必ずこうなる。

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   $h$ をくくり出して約分する。

   $\frac{h(-2x-h+7)}{h}=-2x-h+7,\qquad h\ne 0.$

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   求められている形に合わせる。 結果を $(-2)x+(-1)h+7$ と書き、$Ax+Bh+C$ と見比べると：

   $A=-2,\qquad B=-1,\qquad C=7.$

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   導関数と数値例の両方で確かめる。 $h\to0$ とすると $-2x+7$ になり、これは $f(x)=-x^{2}+7x+2$ の $f'(x)$ そのものである——差分商は導関数につぶれなければならない。数値では $x=3$、$h=0.1$ のとき $f(3.1)=-9.61+21.7+2=14.09$、$f(3)=-9+21+2=14$ なので商は $0.09/0.1=0.9$ であり、一方 $-2(3)-0.1+7=0.9$ ✓。