3 次方程式 x³ + 40x² + 400x + 2000 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   有理根の候補を調べる。 $2000$ の約数には $\pm 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 1000, 2000$ がある。あり得そうな負の値で評価すると $f(-10) = 1000$、$f(-20) = 2000$、$f(-25) = 1375$、$f(-40) = -14000$：ゼロにはならないが、$-25$ と $-40$ の間の符号の反転が、実数解 1 つをその範囲に固定してくれる。

2. 2

   3 次式を簡約する。 $a = 40$、$b = 400$、$c = 2000$ として $x = y - \tfrac{40}{3}$ と置換する。すると

   $p = b - \frac{a^2}{3} = 400 - \frac{1600}{3} = -\frac{400}{3}, \qquad q = \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c = \frac{128000}{27} - \frac{144000}{27} + \frac{54000}{27} = \frac{38000}{27}$

   となり、$y^3 - \tfrac{400}{3}y + \tfrac{38000}{27} = 0$ が得られる。

3. 3

   判別式を計算する。

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{19000}{27}\right)^2 - \left(\frac{400}{9}\right)^3 = \frac{361000000 - 64000000}{729} = \frac{11000000}{27}$

   すなわち $\Delta \approx 407407.4 > 0$ なので、実数解が 1 つと共役な複素数解が 2 つである。

4. 4

   カルダノの公式を適用し、もとの変数に戻す。

   $x = \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} + \sqrt{\frac{11000000}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} - \sqrt{\frac{11000000}{27}}} - \frac{40}{3}$

   数値では $\sqrt{11000000/27} = 638.2847$、$\tfrac{19000}{27} = 703.7037$ なので、2 つの 3 乗根は $\sqrt[3]{-65.4190} = -4.02935$ と $\sqrt[3]{-1341.9884} = -11.03018$ である。和は $y \approx -15.059534$ となり、したがって

   $x_1 = -15.059534 - 13.333333 = -28.392868$

5. 5

   複素数解の組を取り出す。 $(x - x_1)$ で割ると $x^2 + 11.607132x + 70.440225$ が残り、その解は

   $x = -5.803566 \pm 6.062907\,i$

   である。

6. 6

   解と係数の関係で検証する。 解の和 $= -28.392868 + 2(-5.803566) = -40.000000$ で、$-a = -40$ と一致する。積 $= -28.392868\left(5.803566^2 + 6.062907^2\right) = -28.392868 \times 70.440220 = -2000.0$ で、$-c = -2000$ と一致する。$x_1$ を 3 次式に直接代入すると $|f(x_1)| < 10^{-9}$ になる。（実数解としてよく引用される $-30.3393$ は誤りで、$f(-30.3393) \approx -1243$ となる。）