3 次方程式 2s³ + 33s² + 180s + 300 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   有理根を排除する。 候補は $d \mid 300$ と $e \mid 2$ を満たす $\pm\tfrac{d}{e}$ である。あり得そうな負の値を試すと：$f(-3) = 3$、$f(-4) = -20$、$f(-5) = -25$、$f(-6) = -24$、$f(-10) = -200$、$f(-15) = -1725$。どれも消えないので、因数分解も組立除法も行き止まりである——ただし $-3$ と $-4$ の間の符号変化から、そこに実数解が 1 つあることは分かる。

2. 2

   3 次式をモニックにして 2 次の項を消す。 $2$ で割ると $s^3 + \tfrac{33}{2}s^2 + 90s + 150 = 0$ になる。$a = \tfrac{33}{2}$ とした置換 $s = y - \tfrac{a}{3}$、すなわち $s = y - \tfrac{11}{2}$ が 2 次の項を取り除く。$p = b - \tfrac{a^2}{3}$ と $q = \tfrac{2a^3}{27} - \tfrac{ab}{3} + c$ を使うと：

   $p = 90 - \frac{1089}{12} = -\frac{3}{4}, \qquad q = \frac{1331}{4} - 345 = -\frac{49}{4}$

   したがって簡約 3 次式は $y^3 - \tfrac{3}{4}y - \tfrac{49}{4} = 0$ である。

3. 3

   判別式を計算して実数解が何個あるかを見る。

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \frac{2401}{64} - \frac{1}{64} = \frac{2400}{64} = \frac{75}{2} = 37.5$

   $\Delta > 0$ なので実数解はちょうど 1 つ、残りは共役な複素数解の組である。これはカルダノの累乗根公式が実数の 3 乗根だけで機能する場合であり、三角関数への迂回はいらない。

4. 4

   カルダノの公式を適用する。 $-\tfrac{q}{2} = \tfrac{49}{8} = 6.125$、$\sqrt{\Delta} = \sqrt{37.5} = 6.123724$ として：

   $y = \sqrt[3]{6.125 + 6.123724} + \sqrt[3]{6.125 - 6.123724} = \sqrt[3]{12.248724} + \sqrt[3]{0.001276}$

   2 つの根号の中身は大きさがまるで違う——$\Delta$ が $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2$ をわずかに下回るせいで、2 つ目はかろうじてゼロを超える程度である——結果は

   $y = 2.305138 + 0.108453 = 2.413591$

5. 5

   s に戻し、複素数解の組を求める。 $s = y - \tfrac{11}{2}$ より実数解は

   $s_1 = 2.413591 - 5.5 = -3.086409$

   $2s^3 + 33s^2 + 180s + 300$ を $(s - s_1)$ で割ると $2s^2 + 26.827182s + 97.200344$ が残り、その解は $s = -6.706796 \pm 1.902385\,i$ である。

6. 6

   解と係数の関係で確かめる。 3 解の和は $-\tfrac{33}{2} = -16.5$ でなければならない：$-3.086409 + 2(-6.706796) = -16.500001$。積は $-\tfrac{300}{2} = -150$ でなければならない：$(-3.086409)\left(6.706796^2 + 1.902385^2\right) = (-3.086409)(48.60018) = -150.00$。どちらも合う。（よく見かける誤答は虚部を $\pm 0.484891$ とするが、その組は積の検査で大きく外れる。）