x³ + 12x² + 48x + 72 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   完全 3 乗のパターンを試す。 係数 $1,12,48$ は $(x+b)^{3}=x^{3}+3bx^{2}+3b^{2}x+b^{3}$ と、$3b=12$ すなわち $b=4$ で一致する。実際 $3b^{2}=48$ ✓。合わないのは定数だけである：

   $(x+4)^{3}=x^{3}+12x^{2}+48x+64,$

   一方この問題の定数は $72$ である。この惜しい食い違いに気づくことが要点そのものである——この 3 次式は完全 3 乗ではないが、完全 3 乗に定数を足したものではある。

2. 2

   ずらした 3 乗として書き直す。 $72=64+8$ なので、

   $x^{3}+12x^{2}+48x+72=(x+4)^{3}+8,$

   よって方程式は

   $(x+4)^{3}+8=0\;\Longrightarrow\;(x+4)^{3}=-8.$

   この 1 回の書き換えだけで、3 次方程式が 1 手で解ける形に変わる。

3. 3

   実数の 3 乗根をとる。 平方根と違い、負の数の 3 乗根はれっきとした実数であり、しかも一意である：

   $x+4=\sqrt[3]{-8}=-2.$

   ここに $\pm$ は付かない——関数 $t\mapsto t^{3}$ は狭義単調増加なので、実数上で 1 対 1 だからである。

4. 4

   $x$ について解く。 $4$ を引くと：

   $x=-2-4=-6.$

   これが唯一の実数解である。残る 2 つは複素数で、3 乗の和の公式による因数分解 $(x+4)^{3}+2^{3}=(x+6)\left((x+4)^{2}-2(x+4)+4\right)$ から出てくる。その 2 次因数 $x^{2}+6x+12$ は判別式が $36-48=-12<0$ である。

5. 5

   代入して確かめる。 $x=-6$ とすると：

   $(-6)^{3}+12(36)+48(-6)+72=-216+432-288+72=0 ✓.$

   構造的な確認も効く：$(-6+4)^{3}+8=(-2)^{3}+8=-8+8=0$ ✓。