x³ − 0.016875x² + 0.000094921875x − 1.77975547×10⁻⁷ = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   最初の 3 項が完全 3 乗になっているかを調べる。 $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$ と見比べると、$x^2$ の係数から $3a=0.016875$、すなわち $a=0.005625$ が得られる。$x$ の係数を確かめる：$3a^2=3(0.005625)^2=3(0.000031640625)=0.000094921875$ ——ぴったり一致する。これは偶然ではなく、この方程式はずらした 3 乗から作られている。

2. 2

   方程式を、純粋な 3 乗と定数の和に書き直す。 $a^3=(0.005625)^3=1.77978515625\times10^{-7}$ なので、

   $x^3-0.016875x^2+0.000094921875x=(x-0.005625)^3+a^3$

   であり、方程式は

   $(x-0.005625)^3=1.77975547\times10^{-7}-1.77978515625\times10^{-7}=-2.968625\times10^{-12}$

   になる。

3. 3

   実数の 3 乗根をとる。 実数の 3 乗根は必ずちょうど1 つなので、

   $x-0.005625=-\sqrt[3]{2.968625\times10^{-12}}=-1.4372041\times10^{-4}$

   $x=0.005625-0.00014372=0.00548128$

   右辺が負なので、マイナスの符号がそのまま残る。

4. 4

   残り 2 つの解も説明しておく。 残りの解は 1 の複素 3 乗根から生じる。$r=-1.4372041\times10^{-4}$ として $x=a+r\,e^{\pm 2\pi i/3}$ とすると：

   $x\approx 0.00569686\pm 0.00012447\,i$

   したがってこの 3 次式は実数解が1 つと共役な複素数解の組をもつ——重複した実数解をもつわけではない。$(x-a)^3=c$ が 3 重解をもつのは $c=0$ のときだけなので、その主張は判別式の検査を通らない。

5. 5

   実数解を直接代入して検証する。 $x=0.005481279590$ とすると：$x^3=1.6468\times10^{-7}$、$-0.016875x^2=-5.0700\times10^{-7}$、$+0.000094921875x=5.2029\times10^{-7}$、$-1.77975547\times10^{-7}$。合計すると $-1.3\times10^{-20}$、すなわち計算機の精度でゼロである ✓。よく引用される $0.0056808311$ を代わりに代入すると残差が $10^{-12}$ 程度残るので、その値は解ではない。