3 次方程式 49 − 112x + 21x² − x³ = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   3 次式をモニックな標準形に直す。 項の順序を逆にして全体に $-1$ を掛けると：

   $x^3 - 21x^2 + 112x - 49 = 0$

   最高次の係数が $+1$ であることは、以下で使う根の判定にも簡約の公式にも前提になっている。

2. 2

   有理根を排除する。 有理根定理より候補は $\pm 1, \pm 7, \pm 49$ だけである。試すと：$f(1) = 43$、$f(-1) = -183$、$f(7) = 343 - 1029 + 784 - 49 = 49$、$f(-7) = -2205$、そして $f(\pm 49)$ はゼロからはるかに遠い。よってこの 3 次式は有理数体上で因数分解できず、組立除法による近道は存在しない。

3. 3

   2 次の項をずらして消し、簡約 3 次式にする。 $x^3 + ax^2 + bx + c$ に対して置換 $x = y - \tfrac{a}{3}$ が 2 次の項を消す。ここでは $a = -21$ なので $x = y + 7$ と置く：

   $(y+7)^3 - 21(y+7)^2 + 112(y+7) - 49 = y^3 - 35y + 49 = 0$

   簡約形 $y^3 + py + q$ では $p = -35$、$q = 49$ である。

4. 4

   3 解がすべて実数であることを確かめてから余弦の公式を使う。 3 次式の判別式にあたる量は $\left(\tfrac{q}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{p}{3}\right)^3 = 600.25 - 1587.963 = -987.713 < 0$ であり、これが還元不能の場合である。相異なる 3 つの実数解をもつのに、カルダノの累乗根公式では複素数を経由しないと表せない。三角関数による置換 $y = 2\sqrt{-p/3}\,\cos\theta$ がそれを回避する：

   $y_k = 2\sqrt{\frac{35}{3}}\,\cos\!\left(\frac{1}{3}\arccos\!\left(-\frac{21}{10}\sqrt{\frac{3}{35}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2$

5. 5

   もとに戻して値を出す。 $x = y + 7$ であり、$2\sqrt{35/3} \approx 6.8313$、$\arccos(-0.6148170) \approx 2.2329502$ ラジアンなので、3 つの解は

   $x_0 \approx 12.0248, \qquad x_1 \approx 8.4956, \qquad x_2 \approx 0.4797$

   となる。

6. 6

   解と係数の関係と照合する。 3 解の和は $21$、積は $49$ でなければならない：$12.0248 + 8.4956 + 0.4797 = 21.0001$、$12.0248 \times 8.4956 \times 0.4797 = 49.01$。どちらも合う。よく引用される小数 $0.4582,\ 9.8091,\ 10.7327$ はそうならない——和は $21$ になるが積が $48.24$ なので、この 3 次式の解ではない。