連立不等式 8 < 60(1 + x)/7 < 9 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   答えがどこに来るかを予想する。 $x=0$ のとき中央の式は $\tfrac{60}{7}=8.571$ で、これはすでに目標の窓 $(8,9)$ の中にある。よって $x=0$ は解であり、区間は 0 をまたぐはずである——片方の端は負、もう片方は正になる。

2. 2

   3 つの部分すべてに 7 を掛ける。 掛ける数は正なので、どちらの向きも保たれる：

   $56<60(1+x)<63$

3. 3

   3 つの部分すべてを 60 で割り、その場で約分する。

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{63}{60}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{21}{20}$

   （$56$ と $60$ は $4$ で、$63$ と $60$ は $3$ で約せる。）

4. 4

   3 つの部分すべてから 1 を引く。

   $\frac{14}{15}-\frac{15}{15}<x<\frac{21}{20}-\frac{20}{20}$

   $-\frac{1}{15}<x<\frac{1}{20}$

   片方が負、片方が正で予想どおりであり、$0$ は内部にある ✓。

5. 5

   兄弟問題と比べる。 窓を 1 つ上へ、$(7,8)$ から $(8,9)$ へずらすと、解はすべて負だった $\left(-\tfrac{11}{60},-\tfrac{1}{15}\right)$ から、0 を含むこの区間へ移る。目標範囲の 1 単位は $x$ における幅 $\tfrac{7}{60}$ に対応する。$\tfrac{60(1+x)}{7}$ が 1 単位変わるごとに $x$ は $\tfrac{7}{60}$ 変わるからである。

6. 6

   両端点を厳密に検算する。 $x=-\tfrac{1}{15}$ のとき：$1+x=\tfrac{14}{15}$ で $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=8$ ✓。$x=\tfrac{1}{20}$ のとき：$1+x=\tfrac{21}{20}$ で $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{21}{20}=\tfrac{63}{7}=9$ ✓。どちらも狭義の不等号なので、区間は両端とも開いている。