連立不等式 8 < 60(1 + x)/7 < 7 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   変形する前に文の意味を読む。 3 部分の不等式 $L<E<R$ は、式 $E$ が $L$ より大きく、同時に $R$ より小さいことを述べている。ここでは $L=8$、$R=7$ なので、$8$ より大きくかつ $7$ より小さい数を要求していることになる。$8>7$ である以上そんな数は存在せず、答えはすでに見えている。

2. 2

   それでも計算を最後まで走らせて確かめる。 3 つの部分すべてに $7$ を掛ける（正なので向きは保たれる）：

   $56<60(1+x)<49$

   逆転した上下限はそのまま残る。当然である——矛盾した文を正当な操作で修復することはできない。

3. 3

   3 つの部分すべてを 60 で割る。 ここでも $60>0$：

   $\frac{56}{60}<1+x<\frac{49}{60},\qquad\text{すなわち}\qquad \frac{14}{15}<1+x<\frac{49}{60}$

4. 4

   3 つの部分すべてから 1 を引く。

   $\frac{14}{15}-1<x<\frac{49}{60}-1\qquad\Longrightarrow\qquad -\frac{1}{15}<x<-\frac{11}{60}$

5. 5

   2 つの端を共通分母で比べる。 $-\tfrac{1}{15}=-\tfrac{4}{60}$ と書き直すと、条件は

   $-\frac{4}{60}<x<-\frac{11}{60}$

   となる。しかし $-\tfrac{4}{60}>-\tfrac{11}{60}$ なので、下限が上限を超えている。区間は空である。

6. 6

   結論を述べる。 解集合は $\varnothing$、すなわちこの不等式を満たす実数は 1 つも存在しない。$x$ を $-100$ から $100$ まで $200{,}001$ 個走査しても、$\frac{60(1+x)}{7}$ が $8$ より大きくかつ $7$ より小さくなるものは 1 つもない ✓。きちんと成り立つ版 $8<\frac{60(1+x)}{7}<9$ と対照的で、そちらの解は $-\tfrac{1}{15}<x<\tfrac{1}{20}$ という本物の空でない区間である。