連立不等式 7 < 60(1 + x)/7 < 8 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   答えの符号を予想する。 $x=0$ のとき中央の式は $\tfrac{60}{7}\approx8.57$ で、目標の窓 $(7,8)$ より上にある。よって $1+x$ を $1$ より小さく縮めなければならず、$x$ は負になる——最終的な答えを確かめるのに役立つ。

2. 2

   3 つの部分すべてに 7 を掛ける。 $7>0$ なので、どちらの不等号の向きも保たれる：

   $49<60(1+x)<56$

3. 3

   3 つの部分すべてを 60 で割る。 ここでも割る数の符号は正である：

   $\frac{49}{60}<1+x<\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$

   ここで $\tfrac{56}{60}$ を $\tfrac{14}{15}$ に約分しておくと、次の段階がすっきりする。

4. 4

   3 つの部分すべてから 1 を引く。

   $\frac{49}{60}-\frac{60}{60}<x<\frac{14}{15}-\frac{15}{15}$

   $-\frac{11}{60}<x<-\frac{1}{15}$

   両端とも負で、手順 1 の予想どおりである。

5. 5

   両端の大小関係を確かめる。 共通分母 $60$ の上では $-\tfrac{11}{60}<-\tfrac{4}{60}$ ✓ なので、この区間は本物で空ではない。上下限の $8$ と $7$ を入れ替えた矛盾する版とは違う。

6. 6

   両端点を厳密に検算する。 $x=-\tfrac{11}{60}$ のとき：$1+x=\tfrac{49}{60}$ で $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{49}{60}=\tfrac{49}{7}=7$ ——ちょうど下限である ✓。$x=-\tfrac{1}{15}$ のとき：$1+x=\tfrac{14}{15}$ で $\tfrac{60}{7}\cdot\tfrac{14}{15}=\tfrac{56}{7}=8$ ✓。どちらの不等号も狭義なので、端点そのものは除かれる。