−0.2 = 4.3957x² + 1.7334x + 0.0496 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを片側に寄せる。 二次方程式は $ax^2+bx+c=0$ の形になって初めて手をつけられる。両辺に $0.2$ を足すと $4.3957x^2 + 1.7334x + 0.0496 + 0.2 = 0$、すなわち $4.3957x^2 + 1.7334x + 0.2496 = 0$ となるので、$a = 4.3957$、$b = 1.7334$、$c = 0.2496$ である。

2. 2

   解の公式を使うと決める。 係数は小数第 4 位まである実験値のような数なので、当てられる因数の組はないし、平方完成をしても面倒な計算の場所が移るだけである。公式 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ はどんな係数でも扱える。

3. 3

   判別式を慎重に計算する。 $b^2 = 1.7334^2 = 3.00467556$、$4ac = 4(4.3957)(0.2496) = 4.38866688$ である。したがって $\Delta = b^2 - 4ac = 3.00467556 - 4.38866688 = -1.38399132.$ この 2 つの積はどちらも十分な桁数まで持ち込まなければならない。$\Delta$ はほとんど等しい 2 数の差であり、早めに丸めると符号まで変わりかねないからである。

4. 4

   判別式の符号を読む。 $\Delta < 0$ なので、放物線 $y = 4.3957x^2 + 1.7334x + 0.2496$ は上に開いているのに $x$ 軸に決して触れない。この方程式には実数解がない。そして $\Delta<0$ である以上、もとの等式 $-0.2 = 4.3957x^2+1.7334x+0.0496$ はどの実数 $x$ についても偽である。

5. 5

   複素数の組を書く。 $\sqrt{-1.38399132} = i\sqrt{1.38399132}$ を使い、$\sqrt{1.38399132} \approx 1.1764316$、$2a = 8.7914$ とすると： $x = \frac{-1.7334 \pm 1.1764316\,i}{8.7914} \approx -0.19717 \pm 0.13382\,i.$

6. 6

   頂点で妥当性を確かめる。 2 つの複素数の解は実部 $-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1.7334}{8.7914} = -0.19717$ を共有しなければならず、これはちょうど頂点の $x$ 座標である。また最小値 $c - \dfrac{b^2}{4a} = 0.2496 - 0.17089 = 0.07871 > 0$ から、放物線が軸より上にとどまることが裏づけられる。