2x² − 4x + 1 は因数分解できるか。できるなら因数分解せよ。

Step-by-step solution

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   まず正しい問いを立てる。どの範囲で因数分解するのか。 整数の範囲では、2 次式 $ax^2+bx+c$ が因数分解できるのは判別式が平方数のときに限る。実数の範囲なら、判別式が非負でありさえすれば因数分解できる。だから因数の組を当てずっぽうで探す前に $\Delta$ を計算する。

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   判別式を計算する。 $a=2$、$b=-4$、$c=1$ なので $\Delta = b^2-4ac = 16-8 = 8.$ $8>0$ なので相異なる 2 つの実数解があり、実数の範囲での因数分解は存在する——しかし $8$ は平方数ではないので、整数や有理数の範囲での因数分解は存在しない。$(2x\pm1)(x\pm1)$ のたぐいを試しても必ず失敗する。

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   解の公式で解を求める。 $x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2\pm\sqrt{2}}{2},$ となるので、$x \approx 1.7071$、$x \approx 0.2929$ である。

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   解を使った形の因数分解を書く。 最高次の係数が $2$ なので、これを前に残さなければならない： $2x^2-4x+1 = 2\left(x-\frac{2+\sqrt2}{2}\right)\left(x-\frac{2-\sqrt2}{2}\right).$

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   平方完成でもっと整った形にする。 $2x^2-4x+1 = 2(x^2-2x)+1 = 2\big[(x-1)^2-1\big]+1 = 2(x-1)^2-1$ である。これは差の平方の形 $\big(\sqrt2(x-1)\big)^2-1^2$ になっているので $2x^2-4x+1 = \left(\sqrt2(x-1)-1\right)\left(\sqrt2(x-1)+1\right).$

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   展開して検算する。 $\left(\sqrt2(x-1)\right)^2-1 = 2(x-1)^2-1 = 2x^2-4x+2-1 = 2x^2-4x+1$。正しい。同じことだが、因数は $(\sqrt2 x-\sqrt2-1)(\sqrt2 x-\sqrt2+1)$ とも書ける。