a と b の大小関係に応じて、4a − 3 と 4b − 3 のあいだに入る正しい不等号を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   a と b に施されている 2 つの操作を見分ける。 どちらの式も、$4$ を掛けてから $3$ を引くことで作られている。この 2 つの操作それぞれを、順序の規則に照らして確かめる必要がある。

2. 2

   正の数を掛けても順序は保たれる。 $4 > 0$ なので

   $a < b \;\Longrightarrow\; 4a < 4b$

   となる。ここで符号を反転させうるのは、負の数を掛ける場合だけである。

3. 3

   定数を引いても順序は保たれる。 両辺から $3$ を取り除くと、2 つの値が同じだけずれる：

   $4a < 4b \;\Longrightarrow\; 4a - 3 < 4b - 3$

4. 4

   3 つの場合を述べる。

   $a < b \;\Longrightarrow\; 4a-3 < 4b-3, \qquad a > b \;\Longrightarrow\; 4a-3 > 4b-3, \qquad a = b \;\Longrightarrow\; 4a-3 = 4b-3$

   向きはつねにもとと一致する。写像 $t \mapsto 4t - 3$ が狭義単調増加だからである。

5. 5

   数値で検証する。 $a = 1$、$b = 4$ では $4 - 3 = 1$、$16 - 3 = 13$ となり $1 < 13$ である。$a = -2$、$b = -5$（つまり $a > b$）では $-11 > -23$ となる。どちらももとの向きを保っている。

6. 6

   負の係数の場合と対比する。 $3 - 2a$ と $3 - 2b$ の比較では掛ける数が $-2$ なので順序が逆転し、$a < b$ なら $3-2a > 3-2b$ となる。2 つの問題を並べると、どの段階が反転を引き起こすのかがはっきりする。