a と b の大小関係に応じて、3 − 2a と 3 − 2b のあいだに入る正しい不等号を答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの式から逆向きにたどる。 $3-2a$ と $3-2b$ を比べるには、$a$ と $b$ からこれらを作った操作を巻き戻せばよい。まず $3$ からの引き算、次に $-2$ を掛ける操作である。各段階について、順序が保たれるのか逆転するのかを確かめる必要がある。

2. 2

   同じ定数を引いても順序は保たれる。 両辺から $3$ を取り除くと、比較は

   $-2a \quad \underline{\phantom{<}} \quad -2b$

   になる。同じ数を足したり引いたりしても、不等式の向きは決して変わらない。

3. 3

   −2 で割ると順序が逆転する。 符号を反転させる規則はこれだけである。したがって $-2a$ と $-2b$ の関係は $a$ と $b$ の関係の逆であり、$3$ を足し戻したあとも同じことが成り立つ。

4. 4

   3 つの場合を述べる。

   $a < b \;\Longrightarrow\; 3-2a > 3-2b, \qquad a > b \;\Longrightarrow\; 3-2a < 3-2b, \qquad a = b \;\Longrightarrow\; 3-2a = 3-2b$

5. 5

   数値で検証する。 $a = 1$、$b = 4$（つまり $a < b$）をとると $3 - 2 = 1$、$3 - 8 = -5$ となり、たしかに $1 > -5$ である。$a = 5$、$b = 2$ をとると $3 - 10 = -7$、$3 - 4 = -1$ となり $-7 < -1$ である。どちらの場合も向きが逆転しており、予想どおりである。

6. 6

   正の係数の場合と比べる。 $4a - 3$ と $4b - 3$ の比較は逆のふるまいをする。正の数 $4$ を掛けても順序は保たれるので、$a < b$ なら $4a - 3 < 4b - 3$ となる。掛ける数の符号がすべてを決めている。