不等式 3.8x + 7.7y ≤ 40 を y について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   答えがどんな形になるかを押さえる。 変数が 2 つあるので、解は数の集合ではなく平面上の 領域 になる。直線 $3.8x+7.7y=40$ を境界とする半平面である。$y$ について解くというのは、直線のどちら側を塗るかを決めることにあたる。この種の制約は線形計画法の標準形であり、$x$ と $y$ が数量、$40$ が予算にあたる。

2. 2

   y の項を孤立させる。 両辺から $3.8x$ を引く。引き算は不等号の向きを決して変えない。

   $7.7y\le40-3.8x$

3. 3

   7.7 で割る。向きが変わらない理由も押さえる。 係数 $7.7$ は 正 なので $\le$ はそのまま保たれる。

   $y\le\frac{40-3.8x}{7.7}$

   もし係数が負であれば不等号は反転していた。本問で最も重要な確認事項である。

4. 4

   傾きと切片の形に分ける。 分数を分けると図形的な意味が見えてくる。

   $y\le\frac{40}{7.7}-\frac{3.8}{7.7}x$

5. 5

   2 つの定数を計算する。

   $\frac{40}{7.7}=5.1948\approx5.19,\qquad \frac{3.8}{7.7}=0.4935\approx0.49$

   よって

   $y\le5.19-0.49x$

   となる。境界の直線は切片が約 $5.19$、傾きが約 $-0.49$ である。$x$ が 1 増えるごとに $y$ の上限がおよそ半分ずつ下がっていく。

6. 6

   領域を述べ、検証する。 解はその直線 上および下側 の閉半平面である（不等号が等号を含むので境界も入る）。原点で試すと $3.8(0)+7.7(0)=0\le40$ ✓ なので $(0,0)$ は領域に入る。直線が原点の上方にあることを考えれば、「直線の下側」という記述と整合する。傾き・切片の形と 1 つの分数の形は、$x$ の値を $30$ 個ランダムに取って比べても機械精度で一致する ✓。