不等式 |2x − 3| ≤ x − 1 を解け。

Step-by-step solution

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   まず右辺が非負であることを課す。 左辺は絶対値なので $\ge 0$ である。もし $x-1<0$ ならこの不等式は成り立ちようがなく、そこから外せない条件が出てくる：

   $x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge 1$

   この関門こそが、右辺に文字がある場合と数値である場合との違いである。飛ばすと幻の解を拾ってしまう。

2. 2

   絶対値記号をはさみこみに置き換える。 $b\ge 0$ のとき $|A|\le b$ は $-b\le A\le b$ と同値である。$A=2x-3$、$b=x-1$ として：

   $-(x-1)\le 2x-3\le x-1$

3. 3

   左半分を解く。 展開して整理する：

   $-x+1\le 2x-3\;\Longrightarrow\;4\le 3x\;\Longrightarrow\;x\ge\frac{4}{3}$

4. 4

   右半分を解く。 $x$ を引き、$3$ を足す：

   $2x-3\le x-1\;\Longrightarrow\;x\le 2$

5. 5

   3 つの条件の共通部分をとる。 $x\ge 1$、$x\ge\frac43$、$x\le 2$ が同時に必要であり、実際に効いているのは後ろの 2 つである：

   $\frac{4}{3}\le x\le 2$

   端点を確かめる。$x=\tfrac43$ では $\left|\tfrac83-3\right|=\tfrac13$、$x-1=\tfrac13$ $\checkmark$。$x=2$ では $|1|=1$、$x-1=1$ $\checkmark$。外側では $x=3$ で $|3|=3\not\le 2$ $\checkmark$。